برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله داده شده را سادهتر کنیم:
\[
(16 \times 36)^2 = 81 \times 8^k
\]
ابتدا \(16 \times 36\) را محاسبه میکنیم:
\[
16 = 2^4 \quad \text{و} \quad 36 = 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2
\]
بنابراین:
\[
16 \times 36 = 2^4 \times 2^2 \times 3^2 = 2^{(4+2)} \times 3^2 = 2^6 \times 3^2
\]
حال آنرا به توان 2 میرسانیم:
\[
(2^6 \times 3^2)^2 = 2^{12} \times 3^4
\]
سمت راست معادله داریم:
\[
81 = 3^4
\]
بنابراین معادله به صورت زیر است:
\[
2^{12} \times 3^4 = 3^4 \times 8^k
\]
میدانیم \(8 = 2^3\)، پس \(8^k = (2^3)^k = 2^{3k}\).
حالا باید توانها را برابر کنیم:
\[
2^{12} \times 3^4 = 3^4 \times 2^{3k}
\]
برای اینکه دو طرف معادله برابر باشند، باید توانهای 2 و 3 مساوی شوند.
برای 3:
\[
3^4 = 3^4
\]
برای 2:
\[
12 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{12}{3} = 4
\]
بنابراین، مقدار \(k\) برابر با 4 است.
